Trigonométrie Exemples

$y = 3 \sin (2 x + π)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 3$

$b = 2$

$c = - π$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $3$

Étape 3

Déterminez la période de $3 \sin (2 x + π)$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- π}{2}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

Déphasage : $- \frac{π}{2}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $3$

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{2}) = 3 \sin (2 (- \frac{π}{2}) + π)$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{- π}{2}) + π)$

Étape 6.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{- π}{2}) + π)$

Étape 6.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{2}) = 3 \sin (- π + π)$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $- π$ et $π$ .

$f (- \frac{π}{2}) = 3 \sin (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (- \frac{π}{2}) = 3 \cdot 0$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (- \frac{π}{2}) = 0$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (- \frac{π}{4}) + π)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{- π}{4}) + π)$

Étape 6.2.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{- π}{2 (2)}) + π)$

Étape 6.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{- π}{2 \cdot 2}) + π)$

Étape 6.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{- π}{2} + π)$

Étape 6.2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (- \frac{π}{2} + π)$

Étape 6.2.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.2.2.3

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Étape 6.2.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2})$

Étape 6.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2})$

Étape 6.2.2.4.2

Additionnez $- π$ et $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \cdot 1$

Étape 6.2.2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3$

Étape 6.2.2.7

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 \sin (2 (0) + π)$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 3 \sin (0 + π)$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $0$ et $π$ .

$f (0) = 3 \sin (π)$

Étape 6.3.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (0) = 3 \sin (0)$

Étape 6.3.2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0$

Étape 6.3.2.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 6.3.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{4}) + π)$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}) + π)$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + π)$

Étape 6.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + π)$

Étape 6.4.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 6.4.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Étape 6.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Étape 6.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Étape 6.4.2.4.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{π}{4}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 6.4.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.4.2.7

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.4.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \cdot - 1$

Étape 6.4.2.7.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 3$

Étape 6.4.2.8

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) + π)$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) + π)$

Étape 6.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (π + π)$

Étape 6.5.2.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (2 π)$

Étape 6.5.2.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (0)$

Étape 6.5.2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 0$

Étape 6.5.2.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Étape 6.5.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{2} & 0 \\ - \frac{π}{4} & 3 \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{4} & - 3 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $3$

Période : $π$

Déphasage : $- \frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{2} & 0 \\ - \frac{π}{4} & 3 \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{4} & - 3 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}$

Étape 8