Trigonométrie Exemples

${(1 - i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.9

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.11

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.13

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.14

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.16

Factorisez $i^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.18

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.20

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.21

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.22

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.23

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.24

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.25

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.25.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.25.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.25.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.26

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.27

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Étape 2.1.28

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5}$

Étape 2.1.29

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i)$

Étape 2.1.30

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.30.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 2.1.30.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 2.1.30.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i)$

Étape 2.1.31

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $10$ de $1$ .

$- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 9$ et $5$ .

$- 4 - 5 i + 10 i - i$

Étape 2.2.3

Additionnez $- 5 i$ et $10 i$ .

$- 4 + 5 i - i$

Étape 2.2.4

Soustrayez $i$ de $5 i$ .

$- 4 + 4 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 4$ et $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Étape 6.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Étape 6.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{4}{- 4})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{4}{- 4}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{4}$ et $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$