Trigonométrie Exemples

${(2 - 2 i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.3

Multipliez $5$ par $16$ .

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 2$ par $80$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.6

Multipliez $10$ par $8$ .

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.10

Multipliez $80 (4 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $80$ par $- 4$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.12

Multipliez $10$ par $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.13

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.14

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.18

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.19

Multipliez $8$ par $40$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.20

Multipliez $5$ par $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.21

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.22

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.23

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.23.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.23.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.23.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.24

Multipliez $10 (16 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.24.1

Multipliez $16$ par $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.24.2

Multipliez $10$ par $16$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.25

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

Étape 2.1.26

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

Étape 2.1.27

Factorisez $i^{4}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

Étape 2.1.28

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.28.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 2.1.28.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 2.1.28.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

Étape 2.1.29

Multipliez $i$ par $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $320$ de $32$ .

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 288$ et $160$ .

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

Étape 2.2.3

Additionnez $- 160 i$ et $320 i$ .

$- 128 + 160 i - 32 i$

Étape 2.2.4

Soustrayez $32 i$ de $160 i$ .

$- 128 + 128 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 128$ et $b = 128$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $128$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 128$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

Étape 6.3

Additionnez $16384$ et $16384$ .

$| z | = \sqrt{32768}$

Étape 6.4

Réécrivez $32768$ comme $128^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $16384$ à partir de $32768$ .

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $16384$ comme $128^{2}$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 128 \sqrt{2}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{128}{- 128}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{4}$ et $| z | = 128 \sqrt{2}$ .

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$