Trigonométrie Exemples

${(4 + 4 i)}^{7}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$4^{7} + 7 \cdot 4^{6} (4 i) + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $7$ .

$16384 + 7 \cdot 4^{6} (4 i) + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.2

Multipliez $4^{6}$ par $4$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez $4$ .

$16384 + 7 \cdot (4 \cdot 4^{6}) i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $4$ par $4^{6}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$16384 + 7 \cdot (4^{1} \cdot 4^{6}) i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16384 + 7 \cdot 4^{1 + 6} i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$16384 + 7 \cdot 4^{7} i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $7$ .

$16384 + 7 \cdot 16384 i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.4

Multipliez $7$ par $16384$ .

$16384 + 114688 i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$16384 + 114688 i + 21 \cdot 1024 {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.6

Multipliez $21$ par $1024$ .

$16384 + 114688 i + 21504 {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.7

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$16384 + 114688 i + 21504 (4^{2} i^{2}) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16384 + 114688 i + 21504 (16 i^{2}) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16384 + 114688 i + 21504 (16 \cdot - 1) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.10

Multipliez $21504 (16 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$16384 + 114688 i + 21504 \cdot - 16 + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $21504$ par $- 16$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.11

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 35 \cdot 256 {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.12

Multipliez $35$ par $256$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.13

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (4^{3} i^{3}) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.14

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 i^{3}) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.15

Factorisez $i^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (- i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.18

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (- 64 i) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.19

Multipliez $- 64$ par $8960$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.20

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 35 \cdot 64 {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.21

Multipliez $35$ par $64$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.22

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (4^{4} i^{4}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.23

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 i^{4}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.24

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.24.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 {(i^{2})}^{2}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.24.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 {(- 1)}^{2}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.24.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 \cdot 1) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.25

Multipliez $2240 (256 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.25.1

Multipliez $256$ par $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 \cdot 256 + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.25.2

Multipliez $2240$ par $256$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.26

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 21 \cdot 16 {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.27

Multipliez $21$ par $16$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.28

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (4^{5} i^{5}) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.29

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 i^{5}) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.30

Factorisez $i^{4}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 (i^{4} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.31

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.31.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.31.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.31.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 (1 i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.32

Multipliez $i$ par $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 i) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.33

Multipliez $1024$ par $336$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.34

Multipliez $7$ par $4$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.35

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4^{6} i^{6}) + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.36

Élevez $4$ à la puissance $6$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 i^{6}) + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.37

Factorisez $i^{4}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 (i^{4} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.38

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.38.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 ({(i^{2})}^{2} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.38.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 ({(- 1)}^{2} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.38.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 (1 i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.39

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 i^{2}) + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.40

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 \cdot - 1) + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.41

Multipliez $28 (4096 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.41.1

Multipliez $4096$ par $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 \cdot - 4096 + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.41.2

Multipliez $28$ par $- 4096$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + {(4 i)}^{7}$

Étape 2.1.42

Appliquez la règle de produit à $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 4^{7} i^{7}$

Étape 2.1.43

Élevez $4$ à la puissance $7$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 i^{7}$

Étape 2.1.44

Réécrivez $i^{7}$ comme $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

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Étape 2.1.44.1

Factorisez $i^{4}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{4} i^{3})$

Étape 2.1.44.2

Factorisez $i^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.45

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.45.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.45.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.45.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (1 (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.46

Multipliez $i^{2} \cdot i$ par $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{2} \cdot i)$

Étape 2.1.47

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (- 1 \cdot i)$

Étape 2.1.48

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (- i)$

Étape 2.1.49

Multipliez $- 1$ par $16384$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 - 16384 i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $344064$ de $16384$ .

$- 327680 + 114688 i - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 - 16384 i$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 327680$ et $573440$ .

$245760 + 114688 i - 573440 i + 344064 i - 114688 - 16384 i$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $114688$ de $245760$ .

$131072 + 114688 i - 573440 i + 344064 i - 16384 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $573440 i$ de $114688 i$ .

$131072 - 458752 i + 344064 i - 16384 i$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 458752 i$ et $344064 i$ .

$131072 - 114688 i - 16384 i$

Étape 2.2.5

Soustrayez $16384 i$ de $- 114688 i$ .

$131072 - 131072 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = 131072$ et $b = - 131072$ .

$| z | = \sqrt{{(- 131072)}^{2} + 131072^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Élevez $- 131072$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{17179869184 + 131072^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $131072$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{17179869184 + 17179869184}$

Étape 6.3

Additionnez $17179869184$ et $17179869184$ .

$| z | = \sqrt{34359738368}$

Étape 6.4

Réécrivez $34359738368$ comme $131072^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $17179869184$ à partir de $34359738368$ .

$| z | = \sqrt{17179869184 (2)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $17179869184$ comme $131072^{2}$ .

$| z | = \sqrt{131072^{2} \cdot 2}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 131072 \sqrt{2}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 131072}{131072})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{- 131072}{131072}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = - \frac{π}{4}$ et $| z | = 131072 \sqrt{2}$ .

$131072 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$