Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 4 \tan (x) \sec (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 2

Soustrayez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Développez $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.2.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 - - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- - \sin (x)$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 + 1 \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.6

Développez $(- 1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.7.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.7.1.2

Multipliez $- 1 (- \sin (x))$ .

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Étape 3.1.7.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.7.1.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.7.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.7.1.4

Multipliez $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 3.1.7.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.7.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.7.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.7.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.7.2

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + 0 + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.3

Additionnez $2 \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.4

Soustrayez ${\sin (x)}^{2}$ de ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.5

Additionnez $2 \sin (x)$ et $2 \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x) + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.6

Additionnez $4 \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \sin (x)}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme $4 \tan (x) \sec (x)$ .

$4 \tan (x) \sec (x)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 4 \tan (x) \sec (x)$ est une identité