Trigonométrie Exemples

$- \cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} = \csc (t)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$- \cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\cot (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (t)}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$- \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$- \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (t) (1 - \cos (t))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ par $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$- \frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))} + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$- \frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(1 - \cos (t)) \sin (t)}$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (t)) \sin (t)$ .

$- \frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \cos (t) (1 - \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \cos (t) \cdot 1 - \cos (t) (- \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- \cos (t) - \cos (t) (- \cos (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.3

Multipliez $- \cos (t) (- \cos (t))$ .

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Étape 2.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (t) + 1 \cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.3.2

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.3.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{1} (t) \cos (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.3.4

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \cos (t) + {\cos (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.4

Multipliez $\sin (t) \sin (t)$ .

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Étape 2.6.4.1

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.4.2

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.5

Réécrivez $- \cos (t) + \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t)$ en forme factorisée.

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Étape 2.6.5.1

Réorganisez les termes.

$\frac{- \cos (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.6.5.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \cos (t) + 1}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $- \cos (t) + 1$ et $1 - \cos (t)$ .

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Étape 2.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{1}{\sin (t)}$ comme $\csc (t)$ .

$\csc (t)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- \cot (t) + \frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} = \csc (t)$ est une identité