Trigonométrie Exemples

$\cot (x) \sec^{4} (x) = \cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

Étape 2.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan^{3} (x)$

Étape 2.3

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\cos (x)}^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\cos (x)$ par ${\cos (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\cos (x)$ par ${\cos (x)}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.5

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{3}$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + {\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de ${\sin (x)}^{3}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + \sin (x) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + \sin (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.6

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$

Étape 3.7

Pour écrire $\frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (x) {\cos (x)}^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.8.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{\sin (x) {\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.8.2

Multipliez $\frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{\sin (x) {\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

Étape 3.8.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) {\cos (x)}^{3}$ .

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3} + \sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

$\frac{{(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 4.1

Réorganisez les termes.

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Étape 4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Étape 5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{1}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$ comme $\cot (x) \sec^{4} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{4} (x)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cot (x) \sec^{4} (x) = \cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$ est une identité