Trigonométrie Exemples

$\cos (x + \frac{π}{6}) + \sin (x - \frac{π}{3}) = 0$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cos (x + \frac{π}{6}) + \sin (x - \frac{π}{3})$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{6}) + \sin (x - \frac{π}{3})$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\cos (x) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{6}) + \sin (x) \cos (- \frac{π}{3}) + \cos (x) \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{6}) + \sin (x) \cos (- \frac{π}{3}) + \cos (x) \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 4.1.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{6}) + \sin (x) \cos (- \frac{π}{3}) + \cos (x) \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \sin (x) \frac{1}{2} + \sin (x) \cos (- \frac{π}{3}) + \cos (x) \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 4.1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \sin (x) \cos (- \frac{π}{3}) + \cos (x) \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 4.1.5

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \sin (x) \cos (\frac{5 π}{3}) + \cos (x) \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 4.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \sin (x) \cos (\frac{π}{3}) + \cos (x) \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 4.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \sin (x) \frac{1}{2} + \cos (x) \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 4.1.8

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \cos (x) \sin (- \frac{π}{3})$

Étape 4.1.9

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \cos (x) \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.1.10

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \cos (x) (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.1.11

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.1.12

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Additionnez $- \frac{\sin (x)}{2}$ et $\frac{\sin (x)}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} + 0 - \frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2

Additionnez $\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2}$ et $0$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \sqrt{3} - \cos (x) \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4

Soustrayez $\cos (x) \sqrt{3}$ de $\cos (x) \sqrt{3}$ .

$\frac{0}{2}$

Étape 4.5

Divisez $0$ par $2$ .

$0$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (x + \frac{π}{6}) + \sin (x - \frac{π}{3}) = 0$ est une identité