Trigonométrie Exemples

$\cos (2 x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réorganisez les termes.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.6

Développez $(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.3

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.7.1.5.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.5.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.5.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.5.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.1.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.2

Additionnez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.7.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cos^{2} (x)$

Étape 2.8

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 2.9

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 2.10

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ dans le numérateur.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 2.10.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x)$

Étape 2.10.3

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 2.11

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (2 x) = \frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$ est une identité