Trigonométrie Exemples

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$ par $\frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$ .

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$

Étape 3

Associez.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x) - 1)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) + \tan (x) \cdot - 1}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Étape 4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - 1 \cdot \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Étape 4.3

Réécrivez $- 1 \tan (x)$ comme $- \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Développez $(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x) - 1) - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x)) - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Étape 6.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Étape 6.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Étape 7

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 7.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Étape 7.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Étape 7.3

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x)}$

Étape 7.4

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 7.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.2

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.3

Pour écrire $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\cos (x)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.6

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.6.2

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.6.3

Factorisez $- \sin (x)$ à partir de $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Étape 8.7

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.7.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 8.7.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 8.7.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 8.7.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de ${\cos (x)}^{2}$ .

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Étape 8.8.1

Factorisez ${\cos (x)}^{2}$ à partir de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Étape 8.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Étape 8.8.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 (1 + \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 8.9

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 8.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 8.11

Réécrivez $- 1 \cos (x)$ comme $- \cos (x)$ .

$(- 1 - \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Étape 8.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$(- 1 - \cos (x)) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Étape 8.13

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 (- \frac{1}{\sin (x)}) - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Étape 8.14

Multipliez $- 1 (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

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Étape 8.14.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Étape 8.14.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Étape 8.15

Multipliez $- \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 9

Regardez maintenant le côté gauche de l’équation.

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Étape 10

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 10.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\tan (x)}$

Étape 10.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 11.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 11.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 11.4

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 12

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$ est une identité