Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\tan (x)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.7.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.7.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.7.6

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

Étape 2.7.7

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Étape 2.7.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Étape 2.7.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$ est une identité