Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (y)}{\csc (y)} = \sec (y) - \cos (y)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\tan (y)}{\csc (y)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\csc (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\tan (y)}{\frac{1}{\sin (y)}}$

Étape 2.2

Réécrivez $\tan (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\sin (y)}}$

Étape 2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \sin (y)$

Étape 2.4

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{1}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \sin (y)$

Étape 2.5.2

Associez $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ et $\sin (y)$ .

$\frac{\sin (y) \sin (y)}{\cos (y)}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (y) \sin (y)}{\cos (y)}$

Étape 2.6.2

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}{\cos (y)}$

Étape 2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (y)}^{1 + 1}}{\cos (y)}$

Étape 2.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \cos^{2} (y)}{\cos (y)}$

Étape 4

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\sec (y) - \cos (y)$

Étape 5

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (y)$ .

$\frac{1}{\cos (y)} - \cos (y)$

Étape 6

Écrivez $- \cos (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{\cos (y)} + \frac{- \cos (y)}{1}$

Étape 7

Additionnez des fractions.

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Étape 7.1

Pour écrire $\frac{- \cos (y)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{1}{\cos (y)} + \frac{- \cos (y)}{1} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{- \cos (y)}{1}$ par $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{1}{\cos (y)} + \frac{- \cos (y) \cos (y)}{\cos (y)}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos (y) \cos (y)}{\cos (y)}$

Étape 8

Multipliez $- \cos (y) \cos (y)$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (y)}{\cos (y)}$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan (y)}{\csc (y)} = \sec (y) - \cos (y)$ est une identité