Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \cos (45)}{\sin (45)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin (45)}$

Étape 1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin (45)}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\sin (45)}$

Étape 2

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.6.5

Évaluez l’exposant.

$(2 - \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Multipliez $- \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 9.1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2}$

Étape 9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Étape 9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 10.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 10.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 10.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 10.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} - \frac{2^{1}}{2}$

Étape 10.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2} - \frac{2}{2}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} - \frac{2}{2}$

Étape 10.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{2} - 1$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{2} - 1$

Forme décimale :

$0.41421356 \dots$