Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{π}{2} + x) = - \cot (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\tan (\frac{π}{2} + x)$

Étape 2

Écrivez $\tan (\frac{π}{2} + x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (\frac{π}{2} + x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2} + x)}$

Étape 4

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1 \cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Étape 5.1.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Étape 5.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{\cos (x) + 0 \sin (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Étape 5.1.4

Multipliez $0$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) + 0}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Étape 5.1.5

Additionnez $\cos (x)$ et $0$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (\frac{π}{2}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{\cos (x)}{0 \cos (x) - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Étape 5.2.2

Multipliez $0$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{0 - \sin (\frac{π}{2}) \sin (x)}$

Étape 5.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{\cos (x)}{0 - 1 \cdot 1 \sin (x)}$

Étape 5.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{0 - 1 \sin (x)}$

Étape 5.2.5

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{0 - \sin (x)}$

Étape 5.2.6

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$\frac{\cos (x)}{- \sin (x)}$

Étape 5.3

Séparez les fractions.

$\frac{1}{- 1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{1}{- 1} \cot (x)$

Étape 5.5

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- \cot (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (\frac{π}{2} + x) = - \cot (x)$ est une identité