Trigonométrie Exemples

$\arcsin (\sin (\frac{7 π}{8}))$

Étape 1

Réécrivez $\frac{7 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\arcsin (\sin (\frac{\frac{7 π}{4}}{2}))$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\arcsin (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})$

Étape 3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le deuxième quadrant.

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})$

Étape 4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\arcsin (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\arcsin (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Étape 4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Étape 4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Étape 4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Forme décimale :

$0.39269908 \dots$