Trigonométrie Exemples

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

Étape 1

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Étape 2.1.2

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Étape 2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Étape 2.1.4

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Étape 2.1.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Étape 2.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

Étape 2.1.7

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 2.1.8

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Étape 2.1.9

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 2.1.10

Multipliez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Étape 2.1.10.1

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 2.1.10.2

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

Étape 2.1.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Étape 2.1.11

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

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Étape 2.1.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Étape 2.1.11.5

Simplifiez

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

Étape 2.1.12

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Étape 2.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Étape 2.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 2.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.13.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 2.1.13.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 2.1.13.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

Étape 2.1.13.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

Étape 2.1.13.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.13.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

Étape 2.1.13.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

Étape 2.1.13.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

Étape 2.1.13.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{2} + 1 - x^{2}$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$