Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{5 π}{3} - \frac{5 π}{4})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{5 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 π}{4})$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{5 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{5 π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{5 π \cdot 3}{12})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (\frac{5 π \cdot 4 - 5 π \cdot 3}{12})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sin (\frac{20 π - 5 π \cdot 3}{12})$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\sin (\frac{20 π - 15 π}{12})$

Étape 5.3

Soustrayez $15 π$ de $20 π$ .

$\sin (\frac{5 π}{12})$

Étape 6

La valeur exacte de $\sin (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 6.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Étape 6.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 6.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Forme décimale :

$0.96592582 \dots$