Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{x}{4}) = 0$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{4} = \arccos (0)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{2}$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{π}{2}$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 4 \frac{π}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 (2) \frac{π}{2}$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \cdot 2 \frac{π}{2}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 π$

Étape 5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{x}{4} = 4 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 4 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $4 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 4 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 4 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 4 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 (2) \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \cdot 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π \cdot 2 - π)$

Étape 6.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 2 (4 π - π)$

Étape 6.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = 2 (3 π)$

Étape 6.2.2.1.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = 6 π$

Étape 7

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{4})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Étape 7.3

$\frac{1}{4}$ est d’environ $0.25$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 4$

Étape 7.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 π$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{4})$ est $8 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $8 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π + 8 π n, 6 π + 8 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = 2 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$