Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Déplacez $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 + \csc^{2} (x)$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Étape 1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Étape 1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Étape 1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Étape 1.6

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) + \csc^{2} (x)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sin^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \sin^{2} (x) + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \sin^{2} (x) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin^{2} (x) + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{\sin (x)}$ et $b = \sin (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Étape 7

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \sin (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Étape 8

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$

Étape 9

Développez $(\csc (x) + \sin (x)) (\csc (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\csc (x) - \sin (x))$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Associez les termes opposés dans $\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 10.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\csc (x) (- \sin (x))$ et $\sin (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) - \csc (x) \sin (x) + \csc (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 10.1.2

Additionnez $- \csc (x) \sin (x)$ et $\csc (x) \sin (x)$ .

$\csc (x) \csc (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 10.1.3

Additionnez $\csc (x) \csc (x)$ et $0$ .

$\csc (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez $\csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 10.2.1.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 10.2.1.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 10.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\csc (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 10.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 10.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\csc^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Étape 10.2.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 10.2.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 10.2.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\csc^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 10.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 10.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc^{2} (x) - \sin^{2} (x)$