Trigonométrie Exemples

$\cot^{2} (x) - \csc^{2} (- x)$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cot (x)$ et $b = \csc (- x)$ .

$(\cot (x) + \csc (- x)) (\cot (x) - \csc (- x))$

Étape 2

Comme $\csc (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\csc (- x)$ comme $- \csc (x)$ .

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cot (x) - \csc (- x))$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Comme $\csc (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\csc (- x)$ comme $- \csc (x)$ .

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cot (x) - - \csc (x))$

Étape 3.2

Multipliez $- - \csc (x)$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cot (x) + 1 \csc (x))$

Étape 3.2.2

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cot (x) + \csc (x))$

Étape 4

Développez $(\cot (x) - \csc (x)) (\cot (x) + \csc (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x) (\cot (x) + \csc (x)) - \csc (x) (\cot (x) + \csc (x))$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x) \cot (x) + \cot (x) \csc (x) - \csc (x) (\cot (x) + \csc (x))$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cot (x) \cot (x) + \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x)$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les termes opposés dans $\cot (x) \cot (x) + \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 5.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cot (x) \csc (x)$ et $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) \cot (x) + \cot (x) \csc (x) - \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \csc (x)$

Étape 5.1.2

Soustrayez $\cot (x) \csc (x)$ de $\cot (x) \csc (x)$ .

$\cot (x) \cot (x) + 0 - \csc (x) \csc (x)$

Étape 5.1.3

Additionnez $\cot (x) \cot (x)$ et $0$ .

$\cot (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez $\cot (x) \cot (x)$ .

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Étape 5.2.1.1

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\cot^{1} (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x)$

Étape 5.2.1.2

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$\cot^{1} (x) \cot^{1} (x) - \csc (x) \csc (x)$

Étape 5.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cot (x)}^{1 + 1} - \csc (x) \csc (x)$

Étape 5.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot^{2} (x) - \csc (x) \csc (x)$

Étape 5.2.2

Multipliez $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Étape 5.2.2.1

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x))$

Étape 5.2.2.2

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$\cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x))$

Étape 5.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}$

Étape 5.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)$

Étape 5.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.1

Remettez dans l’ordre $\cot^{2} (x)$ et $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Étape 5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$- (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x)$

Étape 5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\cot^{2} (x)$ .

$- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$

Étape 5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ .

$- (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 1 \cdot 1$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$