Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) + 1} + \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} + \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} + \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$ par $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} + \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ par $\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{1}{\cos (x)} + 1}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} + \frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} + \frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1)$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 6.2

Additionnez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) (2 \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 1)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 6.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x) (2 \frac{1}{\cos (x)} + 0)}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 6.4

Additionnez $2 \frac{1}{\cos (x)}$ et $0$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2 \frac{1}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 6.5

Associez les exposants.

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Étape 6.5.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 6.5.2

Associez $2$ et $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \cos (x)}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \cos (x)}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 6.6.2

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{2}{(\sec (x) + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}$

Étape 7.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{2}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$