Trigonométrie Exemples

${(\cos (x) + \sin (x))}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(\cos (x) + \sin (x))}^{2}$ comme $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) + \sin (x))$

Étape 2

Développez $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) + \sin (x))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (\cos (x) + \sin (x))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.1.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$

Étape 3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$

Étape 3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$

Étape 3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$

Étape 3.1.2

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.1.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Étape 3.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Étape 3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Étape 3.3

Additionnez $\cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Étape 4

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 5

Réorganisez les termes.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 7.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$1 + \sin (2 x)$