Trigonométrie Exemples

$\frac{2 \tan (15)}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1

La valeur exacte de $\tan (15)$ est $2 - \sqrt{3}$ .

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Étape 1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{2 \tan (45 - 30)}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.2

Séparez la négation.

$\frac{2 \tan (45 - (30))}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{2 \frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{2 \frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{2 \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8

Simplifiez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Étape 1.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.1.2

Associez.

$\frac{2 \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.8.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{2 \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.8.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

$\frac{2 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.6

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.7

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{2 \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.9

Simplifiez

$\frac{2 \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.10.1

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.10.2

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{2 \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.8.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 1.8.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.8.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{2 \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 1.8.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.14.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{2 - \sqrt{3}}{1}}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 1.8.14.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - \tan^{2} (15)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\tan (15)$ est $2 - \sqrt{3}$ .

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Étape 2.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - \tan^{2} (45 - 30)}$

Étape 2.1.2

Séparez la négation.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - \tan^{2} (45 - (30))}$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}}$

Étape 2.1.4

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}}$

Étape 2.1.5

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)})}^{2}}$

Étape 2.1.6

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)})}^{2}}$

Étape 2.1.7

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}}$

Étape 2.1.8

Simplifiez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Étape 2.1.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 2.1.8.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}}$

Étape 2.1.8.1.2

Associez.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}}$

Étape 2.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}}$

Étape 2.1.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.8.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}}$

Étape 2.1.8.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}}$

Étape 2.1.8.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}}$

Étape 2.1.8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}}$

Étape 2.1.8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.8.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}}$

Étape 2.1.8.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.8.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}}$

Étape 2.1.8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})}^{2}}$

Étape 2.1.8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}}$

Étape 2.1.8.6

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})}^{2}}$

Étape 2.1.8.7

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})}^{2}}$

Étape 2.1.8.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.8.9

Simplifiez

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.8.10.1

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.10.2

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.8.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 2.1.8.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.14.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6})}^{2}}$

Étape 2.1.8.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.8.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}}$

Étape 2.1.8.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}}$

Étape 2.1.8.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(\frac{2 - \sqrt{3}}{1})}^{2}}$

Étape 2.1.8.14.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - {(2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - ((2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}$

Étape 2.3

Développez $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))}$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}$

Étape 2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}$

Étape 2.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}$

Étape 2.4.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 2.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 2.4.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 2.4.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 2.4.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 2.4.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}$

Étape 2.4.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 2.4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 2.4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 2.4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1})}$

Étape 2.4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3)}$

Étape 2.4.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3})}$

Étape 2.4.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - (7 - 4 \sqrt{3})}$

Étape 2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3})}$

Étape 2.6

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - 7 - (- 4 \sqrt{3})}$

Étape 2.7

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{1 - 7 + 4 \sqrt{3}}$

Étape 2.8

Soustrayez $7$ de $1$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 6 + 4 \sqrt{3}}$

Étape 3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 (- 3) + 4 \sqrt{3}}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 (- 3) + 2 (2 \sqrt{3})}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3) + 2 (2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 (- 3 + 2 \sqrt{3})}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 (- 3 + 2 \sqrt{3})}$

Étape 3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}}$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(2 - \sqrt{3}) (- 3 - 2 \sqrt{3})}{(- 3 + 2 \sqrt{3}) (- 3 - 2 \sqrt{3})}$

Étape 5.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(2 - \sqrt{3}) (- 3 - 2 \sqrt{3})}{9 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

$\frac{(2 - \sqrt{3}) (- 3 - 2 \sqrt{3})}{- 3}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(2 - \sqrt{3}) (- 3 - 2 \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 3 - 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - 2 \sqrt{3})}{- 3}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - 2 \sqrt{3})}{- 3}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 3}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{- 6 + 2 (- 2 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 3}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 3}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{- 3}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 3}$

Étape 6.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 3}$

Étape 6.2.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 3}$

Étape 6.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 3}$

Étape 6.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 {\sqrt{3}}^{2}}{- 3}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 3}$

Étape 6.2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 3}$

Étape 6.2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Étape 6.2.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Étape 6.2.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{1}}{- 3}$

Étape 6.2.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{- 3}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- 6 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 6}{- 3}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0 - 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{- 3}$

Étape 6.2.3

Soustrayez $4 \sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{- 3}$

Étape 6.2.4

Additionnez $- 4 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{- 3}$

Étape 7

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$0.57735026 \dots$