Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = - 1$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \arctan (- 1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Étape 3.4.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{- π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - π \cdot 2}{12}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 3 π - 2 π}{12}$

Étape 3.6.3

Soustrayez $2 π$ de $- 3 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{- 5 π}{12}$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{2} = - \frac{5 π}{12}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (- \frac{5 π}{12})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{5 π}{12})$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 π}{12}$ dans le numérateur.

$x = 2 \frac{- 5 π}{12}$

Étape 5.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 (6)}$

Étape 5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{- 5 π}{2 \cdot 6}$

Étape 5.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 5 π}{6}$

Étape 5.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 π}{6}$

Étape 6

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 7.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{4}$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.1.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{6}$

Étape 7.3.1.2

Pour écrire $\frac{3 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Étape 7.3.1.3

Pour écrire $- \frac{π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.1.4.1

Multipliez $\frac{3 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3.1.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3.1.4.3

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2}$

Étape 7.3.1.4.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{π \cdot 2}{12}$

Étape 7.3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{12}$

Étape 7.3.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - π \cdot 2}{12}$

Étape 7.3.1.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{9 π - 2 π}{12}$

Étape 7.3.1.6.3

Soustrayez $2 π$ de $9 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{12}$

Étape 7.3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Étape 7.3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{12}$

Étape 7.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{7 π}{12}$

Étape 7.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$x = 2 \frac{7 π}{2 (6)}$

Étape 7.3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 8

Déterminez la période de $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 2$

Étape 8.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 π$

Étape 9

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 9.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{5 π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{5 π}{6} + 2 π$

Étape 9.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 9.3

Associez les fractions.

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Étape 9.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 9.4.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Étape 9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 10

La période de la fonction $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$