Trigonométrie Exemples

$(\tan^{2} (x) - 16) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Étape 1

Simplifiez $(\tan^{2} (x) - 16) (2 \cos (x) + 1)$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 16) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Étape 1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 16) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Étape 1.2

Développez $(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 16) (2 \cos (x) + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} (2 \cos (x) + 1) - 16 (2 \cos (x) + 1) = 0$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} (2 \cos (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x) + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} (2 \cos (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Étape 1.3.1.2

Associez $2$ et $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Étape 1.3.1.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.3.1.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Étape 1.3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Étape 1.3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 16 (2 \cos (x)) - 16 \cdot 1 = 0$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 \cdot 1 = 0$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Étape 1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Étape 1.3.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Étape 1.3.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Étape 1.3.2.4

Divisez $2 (\sin (x))$ par $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Étape 1.3.2.5

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) - 32 \cos (x) - 16 = 0$

Étape 2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 1.32581766 + 2 π n, 1.81577498 + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 4.46741031 + 2 π n, 4.95736764 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3