Trigonométrie Exemples

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sqrt{2} \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 1.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sqrt{2} \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sqrt{2} \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2} \sin (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \sin (x) = - 1$ par $\sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \sin (x) = - 1$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 4.2.2.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.2.2.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 4.2.2.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 4.2.2.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.2.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.2.2.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.2.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.2.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.2.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 4.2.2.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 4.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 4.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Étape 4.2.8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.8.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 4.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.8.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Étape 4.2.8.4.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 4.2.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 4.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$