Trigonométrie Exemples

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 0$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 0$

Étape 3

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Étape 5

Définissez le $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 7

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1$

Étape 8

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 9

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 10

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 11

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 11.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 11.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 12

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 12.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 12.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 13

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 13.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 13.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 13.3

Associez les fractions.

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Étape 13.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 13.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 13.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 13.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 14

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$