Trigonométrie Exemples

$2 \sqrt{3} \sin (4 x) = 3$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{3} \sin (4 x) = 3$ par $2 \sqrt{3}$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{3} \sin (4 x) = 3$ par $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (4 x)}{2 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} \sin (4 x)}{2 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} \sin (4 x)}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \sin (4 x)}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Étape 1.2.2.2

Divisez $\sin (4 x)$ par $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.3.2.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 1.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 1.3.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 1.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Étape 1.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (4 x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$4 x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{3}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{3}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$4 x = π - \frac{π}{3}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.1.2

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 3$ .

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Étape 6.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $3$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 6.1.4.2

Soustrayez $π$ de $3 \cdot π$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{4}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 6.2.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Étape 6.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (4 x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (4 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$