Trigonométrie Exemples

$5^{x - 1} = 3^{2 x + 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (5^{x - 1}) = \ln (3^{2 x + 1})$

Étape 2

Développez $\ln (5^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$(x - 1) \ln (5) = \ln (3^{2 x + 1})$

Étape 3

Développez $\ln (3^{2 x + 1})$ en déplaçant $2 x + 1$ hors du logarithme.

$(x - 1) \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(x - 1) \ln (5)$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x - 1) \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x - 1) \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (5) - 1 \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 1 \ln (5)$ comme $- \ln (5)$ .

$x \ln (5) - \ln (5) = (2 x + 1) \ln (3)$

Étape 4.2

Simplifiez $(2 x + 1) \ln (3)$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (5) - \ln (5) = 2 x \ln (3) + 1 \ln (3)$

Étape 4.2.2

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$x \ln (5) - \ln (5) = 2 x \ln (3) + \ln (3)$

Étape 4.3

Soustrayez $2 x \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (5) - \ln (5) - 2 x \ln (3) = \ln (3)$

Étape 4.4

Ajoutez $\ln (5)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (5) - 2 x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)$

Étape 4.5

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (5) - 2 x \ln (3)$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - 2 x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)$

Étape 4.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \ln (3)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 2 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (5)$

Étape 4.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (5)) + x (- 2 \ln (3))$ .

$x (\ln (5) - 2 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (5)$

Étape 4.6

Divisez chaque terme dans $x (\ln (5) - 2 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (5)$ par $\ln (5) - 2 \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 4.6.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (5) - 2 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (5)$ par $\ln (5) - 2 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (5) - 2 \ln (3))}{\ln (5) - 2 \ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5) - 2 \ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5) - 2 \ln (3)$ .

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Étape 4.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (5) - 2 \ln (3))}{\ln (5) - 2 \ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5) - 2 \ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Étape 4.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5) - 2 \ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{\ln (3) + \ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (3) + \ln (5)}{\ln (5) - 2 \ln (3)}$

Forme décimale :

$x = - 4.60719911 \dots$