Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez le $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 5

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 1$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 8

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 9.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 9.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 10

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 11.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 11.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.3

Associez les fractions.

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Étape 11.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 11.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 11.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 12

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$