Trigonométrie Exemples

cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 1

Simplifiez

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

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Étape 1.1

Multipliez

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ par

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Multipliez

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ par

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.2

Élevez

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ à la puissance

1

$1$ .

cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.3

Élevez

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ à la puissance

1

$1$ .

cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.2.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.2.6

Réécrivez

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

2

$2$ .

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Étape 1.2.6.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ comme

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.6.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.6.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 5

Simplifiez

$2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.1

Pour écrire

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.1

Associez

$2 π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 5.3.2

Soustrayez

$π$ de

$8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 6

Déterminez la période de

$\cos (x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 7

La période de la fonction

$\cos (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$