Trigonométrie Exemples

$4 \sin (x) \cos (x) = 1$

Étape 1

Multiplier chaque terme dans $4 \sin (x) \cos (x) = 1$ par $\frac{1}{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.1

Multipliez chaque terme dans $4 \sin (x) \cos (x) = 1$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \frac{1}{2} = 1 (\frac{1}{2})$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \frac{1}{2} = 1 (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \frac{1}{2} = 1 (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sin (x) \cos (x) = 1 (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) = 1 (\frac{1}{2})$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 6.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 6.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$