Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 1.2

Multipliez $2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) = 0$

Étape 1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $2 \cos^{2} (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 \cos^{2} (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos^{2} (x) = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos^{2} (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos^{2} (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.7

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 5.2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.2.7.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.7.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.7.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 5.2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 5.2.7.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.7.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 5.2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 5.2.8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.8.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 5.2.8.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 5.2.8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$