Trigonométrie Exemples

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (x) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = \sqrt{{(6)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{36 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacent $= \sqrt{36 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacent $= \sqrt{36 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Adjacent $= \sqrt{36 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

Adjacent $= \sqrt{36 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

Adjacent $= \sqrt{36 - 2}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

Adjacent $= \sqrt{36 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

Adjacent $= \sqrt{36 - 2}$

Étape 4.4

Soustrayez $2$ de $36$ .

Adjacent $= \sqrt{34}$

Étape 5

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{34}}{6}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{34}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\tan (x)$ .

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Étape 6.3.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{34}$ en un radical unique.

$\tan (x) = \sqrt{\frac{2}{34}}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $34$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\tan (x) = \sqrt{\frac{2 (1)}{34}}$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$\tan (x) = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 17}}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 17}}$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \sqrt{\frac{1}{17}}$

Étape 6.3.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{17}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{17}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{17}}$

Étape 6.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{17}}$

Étape 6.3.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{17}}$ par $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

Étape 6.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{17}}$ par $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Étape 6.3.6.2

Élevez $\sqrt{17}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Étape 6.3.6.3

Élevez $\sqrt{17}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Étape 6.3.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

Étape 6.3.6.6

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 6.3.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{17}$

Étape 6.3.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{17}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (x)$ .

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Étape 7.3.1

Associez $\sqrt{34}$ et $\sqrt{2}$ en un radical unique.

$\cot (x) = \sqrt{\frac{34}{2}}$

Étape 7.3.2

Divisez $34$ par $2$ .

$\cot (x) = \sqrt{17}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{6}{\sqrt{34}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\sec (x)$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\sec (x) = \frac{6}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Étape 8.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 8.3.2.2

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 8.3.2.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 8.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Étape 8.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 8.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{34}$

Étape 8.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = \frac{6 \sqrt{34}}{34}$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $34$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{34}$ .

$\sec (x) = \frac{2 (3 \sqrt{34})}{34}$

Étape 8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$\sec (x) = \frac{2 (3 \sqrt{34})}{2 (17)}$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{2 (3 \sqrt{34})}{2 \cdot 17}$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \frac{3 \sqrt{34}}{17}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{6}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (x)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$\csc (x) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 9.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 9.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Étape 9.3.3.2.4

Divisez $3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\csc (x) = 3 \sqrt{2}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{34}}{6}$

$\tan (x) = \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\cot (x) = \sqrt{17}$

$\sec (x) = \frac{3 \sqrt{34}}{17}$

$\csc (x) = 3 \sqrt{2}$