Trigonométrie Exemples

$\cos (x) = - \frac{2}{7}$

Étape 1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\cos (x) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = \sqrt{{(7)}^{2} - {(- 2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

Opposé $= \sqrt{49 - {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

Opposé $= \sqrt{49 - 1 \cdot 4}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

Opposé $= \sqrt{49 - 4}$

Étape 4.4

Soustrayez $4$ de $49$ .

Opposé $= \sqrt{45}$

Étape 4.5

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

Opposé $= \sqrt{9 (5)}$

Étape 4.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

Opposé $= \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Étape 4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

Opposé $= 3 \sqrt{5}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{5}}{7}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (x) = \frac{3 \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (x) = - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{- 2}{3 \sqrt{5}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (x)$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (x) = - \frac{2}{3 \sqrt{5}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (x) = - (\frac{2}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.3.3.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 7.3.3.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 7.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 7.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 7.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Étape 7.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Étape 7.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{15}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{7}{- 2}$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x) = - \frac{7}{2}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{7}{3 \sqrt{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (x)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{7}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (x) = \frac{7}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{7}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 9.3.2.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 9.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 9.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 9.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Étape 9.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Étape 9.3.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{15}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{3 \sqrt{5}}{7}$

$\cos (x) = - \frac{2}{7}$

$\tan (x) = - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5}}{15}$

$\sec (x) = - \frac{7}{2}$

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{15}$