Trigonométrie Exemples

${(1 - \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 5 \cdot 1 (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5 (- \sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$1 - 5 (\sqrt{3} i) + 10 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(- \sqrt{3})}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (1 {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3^{1} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 (3 \cdot - 1) + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.12

Multipliez $10 (3 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.12.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i + 10 \cdot - 3 + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.12.2

Multipliez $10$ par $- 3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.14

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.15

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.15.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 ({(- \sqrt{3})}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.15.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.16

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.17

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{3^{3}} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.18

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{27} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.19

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.19.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{9 (3)} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.19.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.20

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- (3 \sqrt{3}) i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.21

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.22

Factorisez $i^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.23

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.24

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (- 3 \sqrt{3} (- i)) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.25

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 10 (3 \sqrt{3} i) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.26

Multipliez $3$ par $10$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 (\sqrt{3} i) + 5 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.27

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.28

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.28.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(- \sqrt{3})}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.28.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.29

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (1 {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.30

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.31

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.1.31.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.31.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.31.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{4}{2}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.31.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.31.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.31.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.31.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.31.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.31.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{\frac{2}{1}} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.31.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (3^{2} i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.32

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 i^{4}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.33

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.33.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 {(i^{2})}^{2}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.33.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 {(- 1)}^{2}) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.33.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 (9 \cdot 1) + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.34

Multipliez $5 (9 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.34.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 5 \cdot 9 + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.34.2

Multipliez $5$ par $9$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- \sqrt{3} i)}^{5}$

Étape 2.1.35

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.35.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- \sqrt{3})}^{5} i^{5}$

Étape 2.1.35.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 + {(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5} i^{5}$

Étape 2.1.36

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - {\sqrt{3}}^{5} i^{5}$

Étape 2.1.37

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{5}$ comme $\sqrt{3^{5}}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{3^{5}} i^{5}$

Étape 2.1.38

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{243} i^{5}$

Étape 2.1.39

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.39.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{81 (3)} i^{5}$

Étape 2.1.39.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - \sqrt{9^{2} \cdot 3} i^{5}$

Étape 2.1.40

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - (9 \sqrt{3}) i^{5}$

Étape 2.1.41

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i^{5}$

Étape 2.1.42

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} (i^{4} i)$

Étape 2.1.43

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.43.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 2.1.43.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 2.1.43.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} (1 i)$

Étape 2.1.44

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 5 \sqrt{3} i - 30 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $30$ de $1$ .

$- 5 \sqrt{3} i - 29 + 30 \sqrt{3} i + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 5 \sqrt{3} i$ et $30 \sqrt{3} i$ .

$25 \sqrt{3} i - 29 + 45 - 9 \sqrt{3} i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $9 \sqrt{3} i$ de $25 \sqrt{3} i$ .

$16 \sqrt{3} i - 29 + 45$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $- 29$ et $45$ .

$16 \sqrt{3} i + 16$

Étape 2.2.4.2

Remettez dans l’ordre $16 \sqrt{3} i$ et $16$ .

$16 + 16 \sqrt{3} i$