Trigonométrie Exemples

$\tan (\arccos (\frac{x}{3}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\frac{x}{3}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}})$ , $(\frac{x}{3}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (\frac{x}{3})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\frac{x}{3}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}})$ . Ainsi, $\tan (\arccos (\frac{x}{3}))$ est $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x}$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{3}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x}$

Étape 5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{3 + x}{3}$ par $\frac{3 - x}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x}$

Étape 5.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Étape 6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(3 + x) (3 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x}$

Étape 6.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x}$

Étape 6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x}$

Étape 7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x}$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x}$

Étape 10

Associez $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$