Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) = \frac{1}{3}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (θ) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = \sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Adjacent $= \sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Adjacent $= \sqrt{9 - 1}$

Étape 4.4

Soustrayez $1$ de $9$ .

Adjacent $= \sqrt{8}$

Étape 4.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

Adjacent $= \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Adjacent $= \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

Adjacent $= 2 \sqrt{2}$

Étape 5

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\tan (θ)$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.2.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 6.3.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 6.3.2.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 6.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Étape 7.3

Divisez $2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\cot (θ) = 2 \sqrt{2}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\sec (θ)$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.2.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.2.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 8.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{3}{1}$

Étape 9.3

Divisez $3$ par $1$ .

$\csc (θ) = 3$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{1}{3}$

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cot (θ) = 2 \sqrt{2}$

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

$\csc (θ) = 3$