Trigonométrie Exemples

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (x) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(7)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(7)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(7)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{49 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{49 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacent $= - \sqrt{49 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

Adjacent $= - \sqrt{49 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

Adjacent $= - \sqrt{49 - 5}$

Étape 4.3.5

Évaluez l’exposant.

Adjacent $= - \sqrt{49 - 1 \cdot 5}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

Adjacent $= - \sqrt{49 - 5}$

Étape 4.5

Soustrayez $5$ de $49$ .

Adjacent $= - \sqrt{44}$

Étape 4.6

Réécrivez $44$ comme $2^{2} \cdot 11$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

Adjacent $= - \sqrt{4 (11)}$

Étape 4.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Adjacent $= - \sqrt{2^{2} \cdot 11}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

Adjacent $= - (2 \sqrt{11})$

Étape 4.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

Adjacent $= - 2 \sqrt{11}$

Étape 5

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{- 2 \sqrt{11}}{7}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{5}}{- 2 \sqrt{11}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\tan (x)$ .

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}})$

Étape 6.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

Étape 6.3.3.2

Déplacez $\sqrt{11}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Étape 6.3.3.3

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Étape 6.3.3.4

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Étape 6.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

Étape 6.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

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Étape 6.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Étape 6.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5} \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Étape 6.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{5 \cdot 11}}{2 \cdot 11}$

Étape 6.3.4.2

Multipliez $5$ par $11$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{55}}{2 \cdot 11}$

Étape 6.3.5

Multipliez $2$ par $11$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{55}}{22}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{- 2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (x)$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (x) = - (\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{11}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{11} \sqrt{5}}{5}$

Étape 7.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{5 \cdot 11}}{5}$

Étape 7.3.4.2

Multipliez $5$ par $11$ .

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{7}{- 2 \sqrt{11}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\sec (x)$ .

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x) = - \frac{7}{2 \sqrt{11}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (x) = - (\frac{7}{2 \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}})$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{7}{2 \sqrt{11}}$ par $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 \sqrt{11} \sqrt{11}}$

Étape 8.3.3.2

Déplacez $\sqrt{11}$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Étape 8.3.3.4

Élevez $\sqrt{11}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 (\sqrt{11} \sqrt{11})}$

Étape 8.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 {\sqrt{11}}^{2}}$

Étape 8.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{11}}^{2}$ comme $11$ .

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Étape 8.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11}$ comme $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Étape 8.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{2 \cdot 11}$

Étape 8.3.4

Multipliez $2$ par $11$ .

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{7}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (x)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (x) = \frac{7}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 9.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 9.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{5}}{7}$

$\cos (x) = - \frac{2 \sqrt{11}}{7}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{55}}{22}$

$\cot (x) = - \frac{2 \sqrt{55}}{5}$

$\sec (x) = - \frac{7 \sqrt{11}}{22}$

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$