Trigonométrie Exemples

$1 + \tan^{2} (30 °) - \csc^{2} (45 °)$

Étape 1

Réorganisez les termes.

$\tan^{2} (30 °) + 1 - \csc^{2} (45 °)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (30 °) - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

La valeur exacte de $\sec (30 °)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.4.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.5.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot 3^{1}}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.5.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \cdot 3}{9} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{9} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 (4)}{9} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} - \csc^{2} (45 °)$

Étape 3.9

La valeur exacte de $\csc (45 °)$ est $\sqrt{2}$ .

$\frac{4}{3} - {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 3.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4}{3} - 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} - 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} - 2^{1}$

Étape 3.10.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 2$

Étape 3.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4}{3} - 2$

Étape 4

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{4 - 6}{3}$

Étape 7.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$\frac{- 2}{3}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2}{3}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{6}$