Trigonométrie Exemples

$\sin (4 x) - \sin (2 x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\sin (2 (2 x)) - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.4

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.7

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.7.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.7.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 1.1.7.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.8

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) - \sin (2 x) = 0$

Étape 1.1.9

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Étape 1.1.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 1.2

Soustrayez $2 \sin (x) \cos (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (1 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (1^{2} - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $4 \sin^{2} (x)$ comme ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (1^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}) = 0$

Étape 2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) ((1 + 2 \sin (x)) (1 - (2 \sin (x)))) = 0$

Étape 2.5

Factorisez.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) ((1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x))) = 0$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Étape 4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $1 + 2 \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $1 + 2 \sin (x)$ égal à $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $1 + 2 \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 6.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 6.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 6.2.8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.8.3

Associez les fractions.

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Étape 6.2.8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.8.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 6.2.8.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 6.2.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 6.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Définissez $1 - 2 \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $1 - 2 \sin (x)$ égal à $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $1 - 2 \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 7.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 7.2.5

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 7.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 7.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 7.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

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Étape 9.1

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.3

Consolidez $π n$ et $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.4

Consolidez $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ et $\frac{π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.5

Consolidez $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$