Trigonométrie Exemples

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$2 x = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$2 x = - \frac{π}{3}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = - \frac{π}{3} - π$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 5.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{2 π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{2 π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{3}$

Étape 6

Déterminez la période de $\tan (2 x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 2 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 7

Ajoutez $\frac{π}{2}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + \frac{π}{2}$

Étape 7.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Étape 7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{6}$

Étape 7.5.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{6}$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{6}$

Étape 7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{3}$

Étape 7.7

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{π}{3}$

Étape 8

La période de la fonction $\tan (2 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$