Trigonométrie Exemples

$4 \cos^{2} (4 x) - 3 = 0$

Étape 1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \cos^{2} (4 x) = 3$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $4 \cos^{2} (4 x) = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $4 \cos^{2} (4 x) = 3$ par $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (4 x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (4 x) = \frac{3}{4}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (4 x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$4 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{6}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{6}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 7.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Étape 7.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Étape 7.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$4 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 7.5

Résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Simplifiez

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Étape 7.5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$4 x = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 7.5.1.5

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$4 x = \frac{11 π}{6}$

Étape 7.5.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{11 π}{6}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{11 π}{6}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

Étape 7.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

Étape 7.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 7.5.2.3.2

Multipliez $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 7.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{11 π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 4}$

Étape 7.5.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$x = \frac{11 π}{24}$

Étape 7.6

Déterminez la période de $\cos (4 x)$ .

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Étape 7.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.6.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 7.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 7.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 7.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 7.7

La période de la fonction $\cos (4 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$4 x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$4 x = \frac{5 π}{6}$

Étape 8.3

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{5 π}{6}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 8.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{5 π}{6}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

Étape 8.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 8.3.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

Étape 8.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Étape 8.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$4 x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 8.5

Résolvez $x$ .

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Étape 8.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 8.5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 8.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 8.5.1.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$4 x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 8.5.1.5

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{6}$

Étape 8.5.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{7 π}{6}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{7 π}{6}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Étape 8.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Étape 8.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Étape 8.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 8.5.2.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 4}$

Étape 8.5.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$x = \frac{7 π}{24}$

Étape 8.6

Déterminez la période de $\cos (4 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.6.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 8.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 8.6.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 8.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 8.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 8.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 8.7

La période de la fonction $\cos (4 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez $\frac{π}{24} + \frac{π n}{2}$ et $\frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ en $\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Consolidez $\frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ et $\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ en $\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$