Trigonométrie Exemples

$2 \sin (2 x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 1.3

Multipliez $4 \sin (x) \cos (x) \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 1.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) = 0$

Étape 1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $4 \cos^{2} (x)$ comme ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 \cos (x)$ et $b = 1$ .

$\sin (x) ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1)) = 0$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 \cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 5.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 5.2.6.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 6.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$