Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Étape 1

Remplacez le $\tan^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) + \sec (x) - 1 = 0$

Étape 2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + \sec (x) - 2 = 0$

Étape 3

Remplacez $\sec (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Étape 4

Factorisez $u^{2} + u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 7

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 1) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = 1, - 2$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 1, - 2$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 2$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = 1$ .

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Étape 11.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (1)$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $arcsec (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 11.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 11.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - 2$ .

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Étape 12.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- 2)$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $arcsec (- 2)$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 12.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 12.4

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 12.4.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Consolidez les réponses.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$