Trigonométrie Exemples

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Étape 1

Factorisez $\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan^{4} (x)$ comme ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = \tan^{2} (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\tan^{2} (x)$ par $u$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 20 u + 64$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $64$ et dont la somme est $- 20$ .

$- 16, - 4$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Étape 1.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Étape 1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (x)$ et $b = 4$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Étape 1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

Étape 1.8

Factorisez.

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Étape 1.8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (x)$ et $b = 2$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

Étape 1.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

Étape 3

Définissez $\tan (x) + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\tan (x) + 4$ égal à $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\tan (x) + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 4$

Étape 3.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 4)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Évaluez $\arctan (- 4)$ .

$x = - 1.32581766$

Étape 3.2.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 3.2.5.2

L’angle résultant de $1.81577498$ est positif et coterminal avec $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = 1.81577498$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.7.1

Ajoutez $π$ à $- 1.32581766$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.32581766 + π$

Étape 3.2.7.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 1.32581766$

Étape 3.2.7.3

Soustrayez $1.32581766$ de $3.14159265$ .

$1.81577498$

Étape 3.2.7.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 1.81577498$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\tan (x) - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (x) - 4$ égal à $0$ .

$\tan (x) - 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (x) - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = 4$

Étape 4.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (4)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Évaluez $\arctan (4)$ .

$x = 1.32581766$

Étape 4.2.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Étape 4.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

Étape 4.2.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Étape 4.2.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $1.32581766$ .

$x = 4.46741031$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\tan (x) + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\tan (x) + 2$ égal à $0$ .

$\tan (x) + 2 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\tan (x) + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 2$

Étape 5.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 2)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Évaluez $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Étape 5.2.4

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 5.2.5.2

L’angle résultant de $2.03444393$ est positif et coterminal avec $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.2.7.1

Ajoutez $π$ à $- 1.10714871$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.10714871 + π$

Étape 5.2.7.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 1.10714871$

Étape 5.2.7.3

Soustrayez $1.10714871$ de $3.14159265$ .

$2.03444393$

Étape 5.2.7.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 2.03444393$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\tan (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\tan (x) - 2$ égal à $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\tan (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = 2$

Étape 6.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (2)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Évaluez $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Étape 6.2.4

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Étape 6.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Étape 6.2.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Étape 6.2.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Étape 6.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.2.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ vraie.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

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Étape 8.1

Consolidez $1.81577498 + π n$ et $1.81577498 + π n$ en $1.81577498 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $1.32581766 + π n$ et $4.46741031 + π n$ en $1.32581766 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.3

Consolidez $2.03444393 + π n$ et $2.03444393 + π n$ en $2.03444393 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.4

Consolidez $1.10714871 + π n$ et $4.24874137 + π n$ en $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$ , pour tout entier $n$