Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = 1$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \arctan (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{π + π}{4}$

Étape 3.3

Additionnez $π$ et $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 4

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π + \frac{π}{4}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 6.1.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{5 π + π}{4}$

Étape 6.2.3

Additionnez $5 π$ et $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π}{4}$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 6.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{4}$

Étape 6.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 (2)}$

Étape 6.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = 3 π$

Étape 7

Déterminez la période de $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 7.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 2$

Étape 7.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 π$

Étape 8

La période de la fonction $\tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n, 3 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$