Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ par $\frac{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ .

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})} + \frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \cdot \frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ par $\frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})} + \frac{\sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})} + \frac{\sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.4

Multipliez $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.4.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x) - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.6

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) + \sin (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.8

Multipliez $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 6.8.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.8.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.8.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 6.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 7.2

Séparez les fractions.

$\frac{\cos (x) - (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 7.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x) - (\frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 7.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) - (\cos (x) \cot (x)) + \sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 7.5

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 7.6

Séparez les fractions.

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 7.7

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x))}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 7.8

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \sin (x) \tan (x)}{(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \sin (x) \tan (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 8.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \cot (x) + \sin (x) - \sin (x) \tan (x)}{(1 - \cot (x)) (1 - \tan (x))}$