Trigonométrie Exemples

$\tan^{4} (x) - \sec^{4} (x)$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan^{4} (x)$ comme ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\tan^{2} (x))}^{2} - \sec^{4} (x)$

Étape 1.2

Réécrivez $\sec^{4} (x)$ comme ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\tan^{2} (x))}^{2} - {(\sec^{2} (x))}^{2}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan^{2} (x)$ et $b = \sec^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))$

Étape 3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.1

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (x)$ et $- \sec^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))$

Étape 3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))$

Étape 3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\tan^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) (- 1 \cdot 1)$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(\tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)) \cdot - 1$

Étape 5.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan^{2} (x) \cdot - 1 + \sec^{2} (x) \cdot - 1$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\tan^{2} (x)$ .

$- 1 \cdot \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) \cdot - 1$

Étape 5.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sec^{2} (x)$ .

$- 1 \cdot \tan^{2} (x) - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $- 1 \tan^{2} (x)$ comme $- \tan^{2} (x)$ .

$- \tan^{2} (x) - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Étape 5.3.2

Réécrivez $- 1 \sec^{2} (x)$ comme $- \sec^{2} (x)$ .

$- \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x)$