Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ par $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (1 + \cos (x)) - \sin (x) (1 - \cos (x))$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x) (1 - \cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) (- (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.1.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) (- (1 - \cos (x)))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x) - 1 - - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.4

Multipliez $- - \cos (x)$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x) - 1 + 1 \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x) - 1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\sin (x) (0 + \cos (x) + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.6

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 5.7

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 6

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$